Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat ovat saatavilla yliopiston ylläpitämässä avoimessa Aaltodoc-julkaisuarkistossa.
Väitös matematiikan ja tilastotieteen alalta, FM Tuomas Kelomäki
Algorithms and computations in Khovanov homology
Väitös Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulusta, maÂteÂmaÂtiiÂkan ja sysÂteeÂmiaÂnaÂlyyÂsin laitokselta.
Väitös Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulusta, maÂteÂmaÂtiiÂkan ja sysÂteeÂmiaÂnaÂlyyÂsin laitokselta.
Noudatamme tapahtumassa Aalto-yliopiston turvallisemman tilan periaatteita.
Väitöskirjan nimi: Algorithms and computations in Khovanov homology
³Õä¾±³Ù³Ù±ð±ô¾±Âáä: Tuomas Kelomäki
³Õ²¹²õ³Ù²¹±¹Ã¤¾±³Ù³ÙäÂáä: professori Vjacheslav Krushkal, University of Virginia, Yhdysvallat
Kustos: apulaisprofessori Kalle Kytölä, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Solmuteoria on matematiikan haara, joka tutkii narujen kietoutumista. Matemaattisesti solmuja tutkitaan tarkastelemalla ympyröiden sileitä upotuksia kolmiulotteiseen avaruuteen. Jo sata vuotta on tiedetty, että nämä sileät upotukset, solmut, voidaan esittää yksinkertaisina kombinatorisina diagrammeina, mikä mahdollistaa niiden tutkimisen kombinatorisilla menetelmillä.
Alkujaan kombinatoriset solmuinvariantit olivat polynomiarvoisia. Vuosituhannen alussa näistä polynomi-invarianeista kehitettiin moniasteisia homologiateorioita. Näitä uusia vahvempia invariantteja on kutsuttu kategorifioinneiksi ja ne ovat antaneet solmuteoreetikoille mahdollisuuden kontribuoida neliulotteisen topologian tutkimukseen luomalla esteitä diffeomorfismeille. Uusien jännittävien invarianttien hankaluutena on, että niitä on vaikeampi laskea sekä algoritmisesti että teoreettisesti.
Tämä väitöskirja, joka on topologian, algebran ja kombinatoriikan leikkauksessa, tarkastelee Jones polynomin kategorifioinnin, Khovanovin homologian, laskennallisia ominaisuuksia. Kombinatorisen topologian työkalua, nimeltään diskreettiä Morse-teoriaa, käytetään muodostamaan uusia tuloksia useiden äärettömien solmuperheiden Khovanovin homologioista. Teoreettisten laskelmien lisäksi väitöskirjassa todistetaan uusia tuloksia Khovanov homologian laskennallisesta vaativuudesta.
Avainsanat: Khovanovin homologia, pieniulotteinen topologia, kombinatoriikka, homologinen algebra
Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 7 päivää ennen väitöstä): .
Yhteystiedot:
tuomas.kelomaki@aalto.fi
Perustieteiden korkeakoulu väitöskirjat
Zoom pikaopas