Perustieteiden korkeakoulun väitöskirjat ovat saatavilla yliopiston ylläpitämässä avoimessa Aaltodoc-julkaisuarkistossa.
Väitös, matematiikka ja tilastotiede, DI Lauri Särkiö
Parabolic double-phase systems
Väitös Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulusta, matematiikan ja systeemianalyysin laitokselta.
Väitös Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulusta, matematiikan ja systeemianalyysin laitokselta.
Väitöskirjan nimi: Parabolic double-phase systems
³Õä¾±³Ù³Ù±ð±ô¾±Âáä: Lauri Särkiö
³Õ²¹²õ³Ù²¹±¹Ã¤¾±³Ù³ÙäÂáä: professori Ulisse Stefanelli, University of Vienna, Itävalta
Kustos: professori Juha Kinnunen, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Väitöskirja tutkii kaksoisfaasityypin epälineaarisia parabolisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt mallintavat todellista maailmaa mahdollistaen erilaisten ilmiöiden käyttäytymisen ennustamisen tiettyjen oletusten valossa. Jos esimerkiksi oletetaan lämpötilaeron ja lämmönsiirron riippuvan toisistaan lineaarisesti, lämmön tai muun vastaavan suureen diffuusiota kuvaa tunnettu lämpöyhtälö. Parabolinen kaksoisfaasiyhtälö on lämpöyhtälön epälineaarinen yleistys, joka mallintaa diffuusiota kahdessa faasissa riippuen annetusta painofunktiosta. Tällaista käyttäytymistä ilmentäviä ilmiöitä ovat muun muassa elektroreologiset nesteet, joiden viskositeettiprofiili muuttuu radikaalisti sähkökentän vaikutuksesta. Tällaisia nesteitä on käytetty esimerkiksi autojen kytkimissä ja jarrujärjestelmissä.
Tuloksemme vastaavat parabolisten kaksoisfaasiyhtälöryhmien säännöllisyyteen ja ratkaisujen olemassaoloon liittyviin kysymyksiin. Lisäksi keskitymme tunnistamaan vähimmäisoletukset, joilla ratkaisujen säännöllisyys voidaan taata. Tarkastelemme sekä ratkaisujen että ratkaisun gradientin säännöllisyyttä. Osoitamme rajoitettujen ratkaisujen lokaalin Hölder-jatkuvuuden sekä ratkaisun gradientin korkeamman integroituvuuden. Tietyillä oletuksilla nämä tulokset ovat oleellisesti optimaalisia ratkaisujen säännöllisyyden näkökulmasta. Vaikka tutkimuksemme on luonteeltaan teoreettista, kehittämämme matemaattinen perusta säilyy relevanttina myös käytännönläheisemmässä tutkimuksessa. Päätulosten lisäksi viemme eteenpäin menetelmiä, jotka liittyvät matemaattisen analyysin eri aloihin, kuten epälineaarisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin, variaatiolaskentaan ja harmoniseen analyysiin. Todistusten keskeisiä elementtejä ovat muun muassa parabolinen faasianalyysi, niin sanottu intrinsinen geometria sekä Lipschitz-katkaisun menetelmä.
Avainsanat: epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, säännöllisyysteoria, parabolinen tuplafaasiyhtälö
Linkki väitöskirjan sähköiseen esittelykappaleeseen (esillä 7 päivää ennen väitöstä): .
Perustieteiden korkeakoulu väitöskirjat
Zoom pikaopas